Ar matematikų komanda tiesiog žengė didelį žingsnį atsakydama į 160 metų senumo milijonų klausimų matematiką?
Gal būt. Ekipažas išsprendė daugybę kitų, mažesnių klausimų srityje, vadinamoje skaičių teorija. Ir tai darydami, jie vėl atidarė seną kelią, kuris ilgainiui gali sukelti atsakymą į seną klausimą: Ar Riemann'o hipotezė yra teisinga?
Reimanno hipotezė yra pagrindinė matematinė prielaida, turinti didžiulį poveikį likusiai matematikai. Tai sudaro daugelio kitų matematinių idėjų pagrindą - bet niekas nežino, ar tai tiesa. Jos pagrįstumas tapo vienu garsiausių atvirų matematikos klausimų. Tai viena iš septynių „Tūkstantmečio problemų“, išdėstytų 2000 m., Su pažadu, kad kas jas išspręs, laimės milijoną dolerių. (Nuo tada buvo išspręsta tik viena iš problemų.)
Iš kur kilo ši idėja?
Dar 1859 m. Vokiečių matematikas, vardu Bernhardas Riemannas, pasiūlė atsakymą į ypač sudėtingą matematikos lygtį. Jo hipotezė yra tokia: tikroji kiekvieno ne trivialaus Riemann zeta funkcijos nulio dalis yra 1/2. Tai gana abstraktus matematinis teiginys, susijęs su skaičiais, kuriuos galite sudėti į tam tikrą matematinę funkciją, kad ta funkcija būtų lygi nuliui. Tačiau pasirodo, kad tai turi didelę reikšmę, svarbiausia atsižvelgiant į klausimus, kaip dažnai jūs susidursite su pirminiais skaičiais, kai suskaičiuosite iki begalybės.
Vėliau grįšime prie hipotezės detalių. Bet dabar svarbu žinoti, kad jei Riemann'o hipotezė yra tiesa, ji atsako į daugybę matematikos klausimų.
„Taip dažnai skaičiaus teorijoje nutinka, jei priimi Riemann hipotezę, tada gali įrodyti visokius kitokius rezultatus“, - nedalyvavo Olajo Oberlino koledžo numerių teoretikė Lola Thompson. šiame naujausiame tyrime sakė.
Dažnai, pasak „Live Science“, skaičių teoretikai pirmiausia įrodys, kad kažkas yra tiesa, jei Riemann hipotezė yra tiesa. Tada jie pasinaudos tuo įrodymu kaip tam tikru žingsniu link sudėtingesnio įrodymo, kuris parodo, kad jų pirminė išvada yra tiesa, ar Riemann'o hipotezė yra tiesa.
Tai, kad šis triukas veikia, pasak jos, įtikina daugelį matematikų, kad Riemann hipotezė turi būti tiesa.
Tačiau tiesa ta, kad niekas to nežino.
Mažas žingsnis link įrodymų?
Taigi, kaip atrodė, kad ši maža matematikų komanda priartino mus prie sprendimo?
„Tai, ką mes padarėme savo darbe“, - sakė Ken Ono, Emory universiteto teoretikas ir naujojo įrodymo bendraautorius, „ar mes peržiūrėjome labai techninį kriterijų, kuris yra lygiavertis Riemann'o hipotezei ... ir mes įrodėme didelę Mes įrodėme didelę šio kriterijaus dalį “.
„Kriterijus, lygiavertis Riemann hipotezei“, šiuo atveju reiškia atskirą teiginį, matematiškai prilygstantį Riemann hipotezei.
Iš pirmo žvilgsnio nėra akivaizdu, kodėl abu teiginiai yra taip susiję. (Kriterijus susijęs su tuo, kas vadinama „Jenseno polinomų hiperboliškumu“.) Tačiau 1920 m. Vengrų matematikas George'as Pólya įrodė, kad jei šis kriterijus yra tikras, tada Riemann'o hipotezė yra teisinga - ir atvirkščiai. Tai yra senas pasiūlytas kelias hipotezės įrodymui, tačiau to kelio, kurio iš esmės buvo atsisakyta.
Gegužės 21 d. Žurnale „Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS)“ paskelbtame dokumente Ono ir jo kolegos įrodė, kad daugeliu atvejų kriterijus yra tikras.
Bet matematikos srityje daugelio nepakanka, kad būtų laikomas įrodymu. Vis dar yra atvejų, kai jie nežino, ar kriterijus teisingas, ar klaidingas.
„Tai yra tarsi žaisti milijono skaičių„ Powerball “, - sakė Ono. "Ir jūs žinote visus skaičius, išskyrus paskutinius 20. Jei net vienas iš tų paskutinių 20 numerių yra neteisingas, prarandate. Vis tiek visi gali subyrėti."
Tyrėjai turės pateikti dar sudėtingesnį įrodymą, kad kriterijus visais atvejais yra teisingas, ir taip įrodyti Riemann'o hipotezę. Ir neaišku, kiek toli toks įrodymas yra, sakė Ono.
Taigi, koks didelis šis dokumentas?
Remiantis Riemann'o hipoteze, sunku pasakyti, koks tai didelis sandoris. Daug kas priklauso nuo to, kas bus toliau.
„Tai tik vienas iš daugelio lygiaverčių Riemann'o hipotezės formuluočių“, - teigė Thompsonas.
Kitaip tariant, yra daugybė kitų idėjų, kurios, kaip ir šis kriterijus, įrodytų, jog Riemann hipotezė yra teisinga, jei jos pačios būtų įrodytos.
"Taigi, iš tikrųjų sunku žinoti, kokia tai pažanga, nes, viena vertus, šioje srityje padaryta pažanga. Tačiau lygiaverčių formuluočių yra tiek daug, kad galbūt ši kryptis neduos Riemann'o hipotezės. Galbūt viena iš kitos lygiavertės teoremos vietoj to bus, jei kas nors gali įrodyti vieną iš jų “, - teigė Thompsonas.
Jei įrodymai pasirodys šia linkme, tai greičiausiai reikš, kad Ono ir jo kolegos sukūrė svarbų pagrindą, skirtą Riemann'o hipotezei išspręsti. Bet jei jis pasirodys kažkur kitur, tada paaiškės, kad šis dokumentas buvo ne toks svarbus.
Vis dėlto matematikai yra sužavėti.
„Nors tai dar toli gražu neįrodo Riemann'o hipotezės, tai yra didelis žingsnis į priekį“, - pridėtame Prince Tyrimo numerio teoretike, nedalyvavusiame komandos tyrime, Encrico Bombieri rašė lydimajame gegužės 23 d. PNAS straipsnyje. "Nėra abejonės, kad šis darbas įkvėps tolesnį pagrindinį darbą kitose skaičių teorijos srityse, taip pat ir matematinėje fizikoje."
(1974 m. „Bombieri“ laimėjo „Laukų medalį“ - patį prestižiškiausią matematikos apdovanojimą - didžiąja dalimi už darbą, susijusį su Riemann'o hipoteze.)
Ką vis dėlto reiškia Riemann hipotezė?
Pažadėjau, kad grįšime prie to. Štai vėl Riemann'o hipotezė: tikroji kiekvieno Rivann zeta funkcijos, esančios ne trivialiame lygyje, nulis yra 1/2.
Padalinkime tai pagal tai, kaip tai paaiškino Thompsonas ir Ono.
Pirma, kas yra Riemann zeta funkcija?
Matematikoje funkcija yra skirtingų matematinių dydžių santykis. Paprastas gali atrodyti taip: y = 2x.
Riemann zeta funkcija vadovaujasi tais pačiais pagrindiniais principais. Tik tai daug sudėtingiau. Štai kaip tai atrodo.
Tai begalinės sekos suma, kur kiekvienas terminas - pirmieji keli yra 1/1 ^ s, 1/2 ^ s ir 1/3 ^ s - pridedamas prie ankstesnių terminų. Šios elipsės reiškia, kad funkcijos serija tęsiasi taip, amžinai.
Dabar galime atsakyti į antrą klausimą: kas yra Riemann zeta funkcijos nulis?
Tai lengviau. Funkcijos „nulis“ yra bet koks skaičius, kurį galite įvesti x, dėl kurio funkcija lygi nuliui.
Kitas klausimas: kokia yra tikroji vieno iš tų nulių dalis, ir ką reiškia, kad jis lygus 1/2?
Riemann zeta funkcija apima tai, ką matematikai vadina „sudėtiniais skaičiais“. Sudėtingas skaičius atrodo taip: a + b * i.
Toje lygtyje „a“ ir „b“ žymi bet kokius tikruosius skaičius. Realus skaičius gali būti nuo minus 3 iki nulio iki 4,9234, pi arba 1 milijardas. Bet yra dar viena rūšis: įsivaizduojami skaičiai. Neįsivaizduojami skaičiai atsiranda, kai imsite neigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį. Jie yra svarbūs ir rodomi įvairiuose matematiniuose kontekstuose.
Paprasčiausias įsivaizduojamas skaičius yra kvadratinė šaknis -1, užrašyta kaip „i“. Sudėtingas skaičius yra tikrasis skaičius („a“) ir dar vienas tikrasis skaičius („b“), i karto. Kompleksinio skaičiaus „tikroji dalis“ yra ta „a“.
Keletas Riemann zeta funkcijos nulių, neigiami sveikieji skaičiai nuo –10 iki 0, Reimann hipotezei neskaičiuojami. Jie laikomi „trivialiais“ nuliais, nes jie yra realieji skaičiai, o ne sudėtingieji skaičiai. Visi kiti nuliai yra „nesvarbūs“ ir sudėtingi skaičiai.
Riemann hipotezėje teigiama, kad kai Riemann zeta funkcija kerta nulį (išskyrus tuos nulius nuo -10 iki 0), tikroji komplekso skaičiaus dalis turi būti lygi 1/2.
Ši maža pretenzija gali neatrodyti labai svarbi. Bet tai yra. Ir mes galime būti tik šiek tiek paaugliai, arčiau to sprendimo.
