"Iki begalybės ir anapus!"
Ar net giliai pagalvojai apie garsiąją Buzz Lightyear frazę iš filmų „Žaislų istorija“? Tikriausiai ne. Bet galbūt jūs kartais pažvelgėte į naktinį dangų ir susimąstėte apie pačią begalybės prigimtį.
Begalybė yra keista sąvoka, kuria žmogaus smegenys sunkiai supranta savo ribotą supratimą. Mes sakome, kad Visata gali būti begalinė, tačiau ar ji iš tikrųjų gali tęstis amžinai? Arba pi skaitmenys po kablelio - ar jie iš tikrųjų veikia be galo, visada suteikdami mums daug daugiau tikslumo apie apskritimo perimetro ir spindulio santykį? Ir ar „Buzz“ gali būti teisus? Ar yra kažkas už begalybės?
Siekdamas išspręsti šias protu nesuvokiamas spėliones, „Live Science“ pasitelkė matematiko Henry Towsnerio iš Pensilvanijos universiteto Filadelfijoje pagalbą, kuris buvo malonus pabandyti atsakyti į klausimą: „Ar galite suskaičiuoti praeities begalybę?“ (Būk įspėtas: tai taps sudėtinga.)
Anot Towsnerio, begalybė sėdima keistoje vietoje: dauguma žmonių mano, kad jie turi šiek tiek intuicijos apie koncepciją, tačiau kuo daugiau apie tai galvoja, tuo keistesnė ji tampa.
Kita vertus, matematikai dažnai nemano, kad begalybė yra savaime suprantama sąvoka, pridūrė jis. Atvirkščiai, jie naudojasi skirtingais būdais galvoti apie tai, kad įgytų daugelio aspektų.
Pavyzdžiui, yra skirtingi begalybės dydžiai. Tai įrodė vokiečių matematikas Georgas Cantoris 1800-ųjų pabaigoje, remiantis Škotijos Šv. Andrews universiteto istorija.
Kantorius žinojo, kad natūralieji skaičiai - tai yra sveiki skaičiai, tokie kaip 1, 4, 27, 56 ir 15 687 - yra amžinai. Jie yra begaliniai ir taip pat yra tai, ką mes naudojame daiktams suskaičiuoti, todėl jis apibūdino juos kaip „be galo daug“, remdamasis naudinga istorija apie istoriją, matematiką ir kitas temas iš švietimo karikatūristo Charleso Fisherio Cooperio.
Skaičiuojamai begalinių skaičių grupės turi keletą įdomių savybių. Pavyzdžiui, lyginiai skaičiai (2, 4, 6 ir tt) taip pat yra be galo begaliniai. Ir nors jų yra perpus mažiau nei tiek, kiek apima visas natūraliųjų skaičių rinkinys, jie vis tiek yra tokie patys begaliniai.
Kitaip tariant, jūs galite sudėti visus lyginius skaičius ir visus natūralius skaičius greta dviejų stulpelių ir abi stulpeliai eis į begalybę, tačiau jie yra tas pats begalybės „ilgis“. Tai reiškia, kad pusė skaičiuojamos begalybės vis tiek yra begalybė.
Bet Cantor'o puiki įžvalga buvo suvokti, kad yra ir kitų skaičių aibių, kurios yra nesąžiningai begalinės. Realieji skaičiai, apimantys natūralius skaičius, taip pat trupmenas ir neracionalius skaičius, tokius kaip pi, yra begaliniai nei natūralieji skaičiai. (Jei norite sužinoti, kaip tai padarė „Cantor“, ir galite susitvarkyti su tam tikrais matematiniais žymėjimais, galite pasižiūrėti šį Meino universiteto darbalapį.)
Jei visus natūraliuosius skaičius ir visus tikruosius skaičius sudėtumėte į eilutes dviem stulpeliais, realieji skaičiai viršytų natūraliųjų skaičių begalybę. Kantorius vėliau išprotėjo, tikriausiai dėl priežasčių, nesusijusių su jo darbu iki begalybės, teigia Cooperis.
Kas yra skaičiavimas?
Taigi, grįžkime prie praeities begalybės skaičiavimo klausimo. „Tai, kas priverčia jus paklausti, yra:„ Ką tai iš tikrųjų reiškia? “, - teigė Towsneris. "Ką jūs turite omenyje skaičiuodamas praeities begalybę?"
Siekdamas išspręsti problemą, Towsneris kalbėjo apie eilės numerius. Skirtingai nuo kardinalių skaičių (1, 2, 3 ir panašiai), kurie nurodo, kiek daiktų yra aibėje, ordinai apibrėžiami pagal jų pozicijas (pirmą, antrą, trečią ir t. T.), Ir jie taip pat buvo įvesti į matematiką „Cantor“, anot matematikos svetainės „Wolfram MathWorld“.
Ordinuose numeriuose yra sąvoka omega, žymima graikiška raide ω, sakė Towsneris. Simbolis ω yra apibrėžiamas kaip daiktas, kuris eina po visų kitų natūraliųjų skaičių, arba, kaip tai vadino kantorius, pirmasis tarpžvaigždinis transfinitas.
Bet vienas iš skaičių svarbiausių dalykų yra tai, kad pabaigoje visada galite pridėti dar vieną, sakė T. Towsneris. Taigi yra toks dalykas kaip ω + 1, ω + 2 ir netgi ω + ω. (Jei jums įdomu, galų gale paspausite numerį, vadinamą 1, kuris yra žinomas kaip pirmasis nesuskaičiuojamas ordinas.)
Ir kadangi skaičiavimas yra tarsi papildomų skaičių pridėjimas, šios sąvokos tam tikru būdu leidžia suskaičiuoti praeities begalybę, sakė Towsneris.
Jis pridūrė, kad viso to keistumas yra priežastis, dėl kurios matematikai reikalauja griežtai apibrėžti jų terminus. Jei viskas nėra tvarkoje, sunku atskirti įprastą žmogaus intuiciją nuo to, ką galima įrodyti matematiškai.
„Matematika tau sako:„ Žvelk giliai, kas yra svarbu? “- sakė Towsneris.
Paprastiems mirtingiesiems šias idėjas gali būti sunku visiškai apskaičiuoti. Kaip tiksliai dirbantys matematikai, vykdydami savo kasdienius tyrimus, susiduria su visu šiuo juokingu verslu?
„Didelė to dalis yra praktika“, - teigė Towsneris. „Jūs kuriate naujas intuicijas, naudodamiesi ekspozicija, ir kai intuicija žlunga, galite pasakyti:„ Mes kalbame apie šį tikslų žingsnis po žingsnio griežtą įrodymą “. Taigi, jei šis įrodymas nustebina, vis tiek galime patikrinti, ar jis teisingas, ir tada išmokti kurti naują intuiciją “.
